Teorem:
lim(xn)=x ve lim(yn)=y olmak üzere; lim(d(xn,yn))=d(x,y) olduğunu gösteriniz?

Arkadaşlar; bu teoremin ispatını bilen veya yapan bir kullanıcı varsa lütfen yardım etsin.
yardımlarınız için şimdiden teşekkürler...

lim(xn)=x <=> lim d(xn,x)=0
ve lim(yn)=y <=> lim d(yn,y)=0 dir.

metrikte üçgen eşitsizliği aksiyomundan;
d(xn,yn) < d(xn,x) + d(x,y) + d(yn,y)
0 < |d(xn,yn) - d(x,y)| < d(xn,x) + d(yn,y)

Burada limite geçtiğimizde n sonsuz iken eşitsizliğin sağ tarafı 0+0=0 olur. Dolayısıla,
lim [d(xn,yn) - d(x,y)]=0
lim [d(xn,yn)]=d(x,y) dir.

Mathematician kardeşim çok teşekkürler. Gerçekten de güzel bir çözüm. Ben
üçgen eşitsizliğindeki sağ tarafı <d(xn,y)+d(x,y)+d(yn,y) şeklinde yazmayı hiç düşünmemişdim.
Tekrar sağol.

Bu teoremin bir başka çözümünü bulduk. Sevgili Mathematician senin ispatı yaparken kafama bir kaç soru takıldı. Örneğin lim(d(xn,yn) - d(x,y)) nin limiti aldığımızda limit otomatik olarak dağılacak yani limd(xn,yn) - limd(x,y) = 0 olacak ki buradan da eşitliğin sağ tarafı limd(x,y) kalıyor. fakat eşitliğin sağ tarafı d(x,y) olması gerekiyor. Bu da ispat için sıkıntı yarttı biraz.
Biz arkadaşla şu ispatı yaptık sizce mantıklı mı?
İspat:
Her €>0 için
limxn=x ise |xn-x|<€/2
limyn=y ise |yn-y|<€/2
olsun.
Her €>0 için |xn-yn| = |xn-x+x-y+y-yn|
< |xn-x|+|x-y|+|-1||yn-y|
< €/2 + |x-y| + €/2
|xn-yn|-|x-y| < €
olup, d(xn,yn) - d(x,y) < € elde edilir. Bu ise
limd(xn,yn) = d(x,y)
demektir.

diye ispatı yaptık. Sizce nasıl. Sevgili Mathematician yorumunu bekliyorum.
Şimdiden teşekkürler...

Aslında bişey farketmez bu durumda da çünkü limd(x,y)=d(x,y) dir. (x ve y n ye bağlı değil, sabit gibi düşünülebilir.)

Burada yaptığınız da (xn,yn) li kısmı üçg. eşitsizliği ile ayırmak. Ama |xn-yn|-|x-y| < € den
d(xn,yn) - d(x,y) < € ye geçme konusunda emin değilim. Çalışılan uzaya, metriğe bağlı olarak değişebilir. d öklidiyen metrik ise doğrudur. Diğer tüm metrik uzaylarda geçerli midir açıkçası emin değilim.