integral 0 dan 1 e arctan(x^2) nin çözümünü bir nümerik seri bularak çözünüz.hata payının 0.001 den daha küçük olmasını sağlayan değer nedir?

emekleriniz için teşekkürler..

bildiğimiz kadarısıyla
[tex]\forall{x}\in[-1,1]~\arctan(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n+1}}{2n+1}[/tex]
bu yüzden
[tex]\forall{x}\in[-1,1]~\arctan\left(x^2\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{4n+2}}{2n+1}[/tex]
bunun için [tex](0,1)\subset[-1,1][/tex] olduğundan ve power serileri uniformly convergent(düzgün sürekli olduklarından ve türkçesini bilmediğim iteretion on coeeficients denilen bu aralıklarda integrallenebildiğinden şunu elde ederiz,
[tex]\int_0^1\arctan\left(x^2\right)dx=\int_0^1\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{4n+2}}{2n+1}dx[/tex]
[tex]=\sum_{n=0}^{\infty}\int_0^1\frac{(-1)^nx^{4n+2}}{2n+1}dx[/tex]
[tex]=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)(4n+3)}[/tex]
şimdi yaklaşık hatayı bulmak için eğer [tex]S=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^a_n[/tex] bu ve [tex]S_n=\sum_{n=0}^{N}(-1)^na_n[/tex] varsa o zaman [tex]R_N=\left|S-S_N\right|\leq{a_{N+1}}[/tex]
bu yüzden sizin serrininzin hatası ihmal edilebilecek ilk terim ve ya ondan daha küçük olmalı,bunun için de
[tex]a_{N+1}\leq{.00001}[/tex] ifadesini hesaplamalısınız.
iyi çalışmalar.

çözüm için teşekkürler..