Problem ve bu tip mantik sorularinda sana genellikle bir olay ile ilgili 2 durum verilir. Ve sen bu 2 durumu karsilastirarak (esitleyerek ya da ortak cozerek) sonuca ulasirsin. Cunku nihayetinde durumlar her ne kadar farkli olursa olsun olayin tamami ayni kalmaktadir, degismemektedir. Farkli durumlardan yola cikarak, yani olayi farkli sekillerde cozerek sonuca ulasirsin. Bu anlattigimin matematikcesi, soruya gore genellikle senin 2 bilinmeyenin ve 2 durumun vardir. Bu 2 durumun herbiri senin bu durumlarla ilgili birer tane denklem bulmani saglar. 2 bilinmeyen icin 2 denklem, bilinmeyenleri bulabilmen icin yeterlidir.

Bu anlattiklarimi sordugun merdiven sorusuna uyarlayim;

Soru icin yukarida bahsettigim olay merdivendeki basamak sayisidir. Basamak sayisi hicbir sekilde degismemektedir. Ister 2'ser 2'ser cikilsin ister 10'ar 10'ar isterse farkli sekillerde. Soruda verilen 2'ser 2'ser ya da 3'er 3'er cikma olayi ise bir durumdur. Bu durumlar merdivendeki basamak sayisini etkilemez. Sadece sana sorulan merdivendeki basamak sayisina (Yukarida bahsettigim olaya) ulasman icin verilen farkli durumlardir. Bize merdivendeki basamak sayisi soruluyor o halde, bu degere ulasmak icin ona bir sembol verelim ve soruda verilen diger bilgileri evirip cevirip bu sembole esitlemeliyiz ki denklemlerimizi olusturarak sonuca ulasalim.

Sorunun cozumu ardindan "neden 6x dedik" diye bir soru sormussun. O halde 6x demiyorum sadece x diyorum. Eger basamak sayisi x ise ;

1. Durum : Merdivenler 3'er 3'er inildigine gore, toplam basamak sayisinin 3'te 1'i kadar adim atilmistir. Yani x degerinin 3'te 1'i bana inerkenki attigi adim sayisini verecektir. x/3
2. Durum : Merdivenler 2'ser 2'ser inildigine gore, toplam basamak sayisinin 2'de 1'i kadar adim atilmistir. Yani x degerinin 2'de 1'i bana inerkenki attigi adim sayisini verecektir. x/2

Simdi soruda bana bir bilgi verilmis. Inerkenki ve cikarkenki attigi adimlarin arasinda bir baginti verilmis. Soruya gore inerkenki atilan adim sayisi, cikarkenki atilan adim sayisindan 6 eksikmis. 6 eksik olduguna gore ben inerkenki atilan adim sayilarina 6 eklersem, bunu cikarkenki atilan adim sayisina esitleyebilirim.

x/3 + 6 = x/2 => x/2 - x/3 = 6 Buradan basamak sayisi x = 36 cikar.

Simdi yapilan yanita gelince, soruda verilen bilgilerden oturu ben basamak sayisini 2'ye ve 3'e bolmek durumunda kaldim ve kesirli ifadelerle ugrastim. Ben bir esitligi ya da birbirine bagli bir esitlik sistemini (kac tane esitlik olursa olsun) ayni sayiyla carpabilirim ve bolebilirim ve bu islem sonucu degistirmeyecektir. Bu durumu suna benzetebilirim; bir arkadasinla sabit bir yerde otururken yaninizdan gecen bir araci ayni hizda gorursunuz. Ya da o arkadasinla belli bir hizda bir aracin icinde giderken, yaninizdan gecen aracin hizi ne olursa olsun, senin algiladigin hiz, arkadasinin algiladigi hizla aynidir. Fakat bu algiladiginiz hizlar, siz aracta giderken hareketsiz duran bir gozlemcinin algiladigi hizi degistirmeyecektir. Sonuc olarak aracin hizi arkadasinla gozlemledin kosullar ayni kaldikca siz onu ayni hizda gidiyormus gibi algilarsiniz ve bu durum hareketsiz gozlemcinin algiladigi degeri degistirmeyecektir. (Einstein'in gorelik kuramina benzer.. Eger ilgilenirsen) Anlatmak istedigim, durumlarin hepsini ayni olmak sartiyla belli bir olcude degistirirsen, sonuc degismeyecektir. Soruda kesirli ifadelerle ugrastik, ed06 cozumunde demis ki, ben bu kesirli sayilarla ugrasmak yerine denklemi her iki kesirli ifadeyi de kesirden kurtaracak bir sayi ile genisleteyim. Ve bu genisletecegim sayi olabildigince kucuk olsun ki, ayni zamanda buyuk ve gereksiz sayilarla da ugrasmak zorunda kalmayim. Soruda verilen ve benim cozumumde kullandigim bilgileri aliyorum;

Merdiven Sayisi : x
2'ser Ciktiginda : x/2
3'er Ciktiginda : x/3

Simdi aynen yukarida acikladigim verilen bilinmeyenlerin hepsini 6 ile genisleteyim. (Yani yapacagim degisiklik ayni olay icindeki tum durumlari ayni olcude degistirsin.)

Merdiven Sayisi : 6x
2'ser Ciktiginda : 6.x/2 = 3x
3'er Ciktiginda : 6.x/3 = 2x

3x - 2x = 6 => x = 6
Merdiven sayisini 6 ile genislettigimden oturu 6x = 36

"Bu soruda cok da fazla bir kesir islemi olmadigindan, boyle bir degisiklige gerek yok" diye bir dusunce olabilir kafanda, ancak sana sorulan sorular her zaman bu tip basit kesir islemleri icermeyebilir. Elbette istersem ben genisletecegim degeri 6 yerine tutup 23423 gibi bir sayi da yapabilim ve nitekim sonuc da degismeyecektir ancak bu yapilanlarin amaci sadece daha basit islemlerle ugrasarak dikkatsizlik payini azaltmaktir. 2 bilinmeyenli, uzun ve kesirli denklemlerde, bunun yararini daha rahat kavrarsin. Su an sehir disindayim, Ankara'ya geri donunce bu tip degisik uygulamalar icin bilgisayarima bir goz atip burada cozumu yaparim o zaman daha rahat anlarsin.

Çok yararlı oldu yazdıkların, teşekkür ederim, emeğine sağlık...

Nihat a, İsmail b yılında doğmuştur. Nihat'ın yaşı, İsmail'in yaşının 3 katıdır. Buna göre Nihat ile İsmail'in bugünkü yaşları toplamı nedir?... a ve b cinsinden ...

Nihat 3x ve Ismail x yasinda olsun. Bu durumda yaslari toplami 4x tir.

Nihat a yilinda dogduguna gore, su an (a + 3x) yilindayiz. Ve ayni sekilde Ismail b yilinda dogduguna gore, su an ayni zamanda (b + x) yilindayiz.

a + 3x = b + x => 2x = b - a => 4x = 2b - 2a

Yukaridaki aciklamami bu soru icin ornekleyecek olursam; ben istersem Nihat'in yasini x ve Ismail'in yasini x/3 alabilirdim. Ama bu degerler yerine 3x ve x aldim ki kesirli sayilarla ugrasmayim. Eger kafama eserse 9x ve 3x de alirim. Ve nitekim bu alacagim degerler soruya gore su an kac yilinda oldugumuzu ve ikisinin yaslari toplamini (Sorunun genelini) degistirmeyecektir. Ayrica sana tavsiyem problem sorularinda, sana verilen bilgileri sema halinde bir yaz. Mesela Ismail de, altina Ismail ile ilgili bilgileri sirala. Ve aynen Nihat icin.. Bu sekilde soruya nereden baslayacagini, ne sekilde bu bilgileri bir denkleme oturtacagini daha cabuk kestirirsin.

Soru1: Üç işçi birlikte bir işi 18 günde bitirebiliyor. Birinci işçinin çalışma hızı, ikinci işçinin çalışma hızının yarısı üçüncü işçinin çalışma hızının üçte biridir. Buna göre bu işi ikinci işçi tek başına kaç günde bitirebilir?

Ben cevabı 66 buluyorum ama yanlış cevap oluyor kitaba göre...

Soru2: Soner bir işin 1/3 ünü bitirdikten sonra çalışma hızını iki katına çıkartmış ve işin tamamını 12 saatte bitirmiştir. Buna göre, Soner başlangıçtaki hızıyla bu işin tamamını kaç saatte bitirir?

Soru3: Bir satıcı bir malı %10 zararla satıyor. Eğer satıcı bu malı 100 ytl fazlasına satsaydı %15 kar elde edecekti. Buna göre bu malın alış fiyatı kaç Ytl'dir?

1. Çalışma hızı ile bitirme süresinin birbirleriyle ters orantılı olduklarını görmüşsün, güzel ancak bitirme sürelerini bulurken yapmışsın hatayı.

A işçisinin hızı : V
B işçisinin hızı : 2V
C işçisinin hızı : 3V

(Sen C'nin bitirme süresine 1 birim, B'nin bitirme süresine 2 birim ve A'nın bitirme süresine 3 birim demişsin. Orantı kuracak olursan yanlış yaptığını farkedeceksin.)

olsun. Bu durumda; A işçisi bir işi t sürede bitirirken, B işçisi t/2, C işçisi ise t/3 saatte bitiriyor. Kesirlerle uğraşmamak için

A işçisinin işi bitirme süresi : 6t
B işçisinin işi bitirme süresi : 3t
C işçisinin işi bitirme süresi : 2t

dedim. (Aynı yukarıdaki açıklamada olduğu gibi bilinmeyen ifadeleri 6 ile genişlettim ki kesirli işlemden kurtulayım.)

Hepsi beraber bu işi 18 saatte bitirdiklerie göre;

1/A + 1/B + 1/C = 1/(6t) + 1/(3t) + 1/(2t) = 1/18 => 6/(6t) = 1/18 => t = 18

O halde ikinci işçi yani B işçisi bu işi 3.18 = 54 saatte bitirir.

2. Sonerin işin 1/3'ünü x hızla ve 2/3'lük kısmını 2x hızla yapmış ve işin tamamını 12 saatte bitirmiştir.

İşin tamamını x hızla yaparsa işi 2t sürede bitirecektir ve işin 1/3'ünü 2t/3 sürede bitirecektir.
İşin tamamını 2x hızla yaparsa işi t sürede bitirecektir ve işin 2/3'ünü 2t/3 sürede bitirecektir.

Bu durumda; Soner'in x hızla 1/3'lük kısmını yaparkenki harcadığı süre ile, 2x hızla 2/3^lük kısmını yaparkenki harcadığı süre eşittir. Yani x hızla 1/3'lük kısmı 6 saatte ve 2x hızla 2/3'lük kısmı 6 saatte tamamlamıştır. Bize sorulan işin tamamını x hızla ne kadar sürede bitirir.

x hızla işin 1/3'ünü 6 saatte tamamlıyorsa, tamamını 18 saatte tamamlar

3. Malın alış fiyatı 100x olsun. %10 zararla bu mal 90x YTL ye satılır ve (90x + 100) YTL soruya göre %15 kar sağlayacaktır. O halde

(90x + 100)/100x = 115/100 => 90x + 100 = 115 => x = 4

O halde malın alış fiyatı : 100.4 = 400 YTL dir.

2. soruda hatan var sanırım. cevaplarda 36 saat yok. Sonerin işin geri kalan yani 2/3 lük kısmını 12 saatte bitirmiştir almışsın. ama soruda işin tamamını 12 saate bitirmiş deniliyor. Ben zaten buradaki tamamı 12 saat ifadesi yüzünden yapamamıştım soruyu... Soru geri kalanını 12 saatte bitirdi deseydi senin dedigin gibi olacaktı..

3. soruyu anlamadım... (90x + 100)/100x = 115/100 bu denlemi nasıl kurdun. ben o denklemi şöyle kuruyorum 90x+100=100x.15/100