Gödel'in çagdasi olan ünlü matematikçi Hilbert, matematikteki tüm ispatlarin, belli bir yöntemle, yani aksiyomatik bir sistem vasitasiyla, elde edilebilecegini düsünüyordu ve bu dogrultuda çalismalarina basladi. Temel aritmetikteki tüm dogrulari, aksiyomlarindan türetebilirse, bu sayede matematikteki tüm dogrulari da bu aksiyomlardan elde ede bilecekti.

Gödel bunun olanaksizligini gösterdi. Bunu kisaca su sekilde yapti: Bu önerme ispatlanamaz ifadesini (G) aritmetik sisteminde formülize etti. Ayni sekilde G ifadenin degilini (Bu önerme ispatlanabilir) de formülize etti. Daha sonra, G ifadesinin aritmetik olarak dogrulugu hesaplanabilirse, G ifadesinin degilinin de dogrulugunun hesaplanabilecegini gösterdi. Ve Gödel buradan su iki sonuca varmistir:

1.Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistem tutarli (consistent) ise eksiksiz (complete) degildir.

2. Elementer aritmetik içeren aksiyomatik bir sistemin tutarliligini sistemin kendi içinden (sistemin kendi formüllerini ve islemlerini kullanarak) ispatlamak mümkün degildir.

Isin ilginç tarafi, bu G ifadesi sistemin içine bir aksiyom olarak yerlestirilse bile, yeni bir Gödel cümlesi çikartilabilir. Yani ne kadar aksiyom eklersek ekleyelim, böyle bir sistemde dogrulugu ya da yanlisligi ispatlanamayacak bir Gödel cümlesi bulunacaktir.