1)0<a<b ise a<kök a.b <(a+b)/2 önermesinin doğruluğunu ispatlayınız(kök a.b sayısı a ile b nin geometirk ortalamasıdır)
2)0<a<b ve 1/h=1/2[1/a +1/b] olsun.
a<h<b olduğunu ispatlayınız(h sayısına a ile b nin harmonik ortalaması denir)

1)
0<a<b ise a<(a*b)^(1/2)<(a+b)/2 doğruluğunu ispatlayın:

0<a<b => a<b <=> a^2<a*b <=> a<(a*b)^(1/2)
0<a<b => a<b <=> 2*a<a+b <=> a<(a+b)/2
0<a<b => 0<a*b<b^2 ve 0<a <=> 0<(a*b)^(1/2)<b ve b<(a+b)
(a*b)^(1/2)<(a+b)/2 ifadesini sağlayamadım buraya kadar işlem yapabildim yardımı olur işallah.

2) bulabildiklerim bunlar tam istenileni elde edemedim ama:

0<a<b ve 1/h=(1/a+1/b) => h=(a*b)/(a+b)
(a<b <=> 2*a<a+b <=> 2*a/(a+b)<1 <=> 2*a*b/(a+b)<b <=> 2h<b) ve
(a<b <=> a+b<2*b <=> 1<2*b/(a+b) <=> a<2*a*b/(a+b) <=> a<2h) =>
a<2h<b

çıktı bende işlem hatası yaptıysam affola