axkare+bx+c=0 ın köklerini nasıl buluruz yani x bir ve x ikinin ispatı

tam kare ye tamamlayarak yapabiliriz ama bu kullanabileceğimiz metodlardan sadece birisi diğerleri biraz daha teknik bilgi ve teorem gerektirir,hazırsak başlayalım biraz uzun olacak;
[tex]x^2+2.x.h+h^2=(x+h)^2.[/tex] bunu elimizde tutalım,
[tex]a.x^2+b.x+x=0[/tex]şimdi bu ifadenin her iki tarafını a ile bölelim,
[tex]x^2+\frac{b}{a}.x+\frac{c}{a}=0[/tex] elde ederiz,
burdan da [tex]x^2+\frac{b}{a}.x=-\frac{c}{a} \qquad(1)[/tex]
ikinci dereceden eşitliğimiz şimdi kareye tamamlama metodu uygulanabilecek kıvama geldi,bunun içinde öyle bir k sabiti bulmalıyız ki
[tex]x^2+\frac{b}{a}x+k=x^2+2xh+h^2,[/tex]
bu eşitlik başka bir h sabiti için sağlansın,
[tex]\frac{b}{a}=2h veya h=\frac{b}{2a}[/tex]
ve [tex]k=h^2burdank=\frac{b^2}{4a^2}[/tex]
şimdi bu bulduğumuz sabit k'yı yukarda (1) ifadesinde her iki tarafa eklersek ingilizce olarak perfect square elde etmiş oluruz türkçesi bana biraz acayip geldi ama kusursuz kare diyebilirsiniz,
ne elde ettik şimdi o na bakalım
[tex]x^2+\frac{b}{a}.x+\frac{b^2}{4a^2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}[/tex]
bu da
[tex]x^2+\frac{b}{a}.x+\frac{b^2}{4a^2}=\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2[/tex]

şimdi bulduğumuz yukardaki iki eşitlikten şunları yazabiliriz,
[tex](x+\frac{b}{2a}\)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}.[/tex]
şimdi her ikitarafın kare kökünü alırsanız latex le gözümün yazmayı yemediği için resim olarak koyduğum şu iki eşitliğe geçeriz,

burdan x'i yalnız bırakırsanız,


ve ispatı bitirmiş olursunuz ben de bittim ne kadar uzunmuş ne sorulyorlar size böyle,
neyse kolay gelsin.

işte paylaşım bu.bu siteyi yardım etmeyi sevdiği için seviyorum .ellerinize sağlık.

mükemmelsiniz yavuz hocam...

Diğer bir çözüm polinomların eşitliğinden bulunabilir.

ax2+bx+c=a*(x-r)2+k eşitliğinden r ve k nın a,b,c cinsinden bulunmasını takiben çözüleBİLİr.