soru1) x ile y pozitif tamsayılar ve x kare-2 ile y+4 aralarında asal sayılardır.
xkarey+4xkare-2y=123 olduğuna gore x+y kactır?
soru2)x ve y pozitif tamsayılar ve xkare=120.y olduğuna gore x+y toplamı en az kaçtır?
soru3)4 ile bölünüp 6 ile bölünemeyen 2 basamaklı kac tane doğal sayı vardır?
soru4)39! sayısı 12 tabanında yazıldığında sayının sonunda kac tane sıfır olusur

CaKaL29 demiş kisoru1) x ile y pozitif tamsayılar ve x kare-2 ile y+4 aralarında asal sayılardır.

1)x^2 . y + 4x^2 -2y = 123
(x^2 - 2)y + 4x^2=123
bir kaç denemeden sonra,
x=5 ve y=1 in şartları sağladığı görülür...x+y=6

CaKaL29 demiş kisoru2)x ve y pozitif tamsayılar ve xkare=120.y olduğuna gore x+y toplamı en az kaçtır?

x^2 = 5.3.(2^3).y
y=5.3.2 için x=5.3.2^2 en küçük değerini alır...
x=60, y=30=>x+y=90

CaKaL29 demiş kisoru3)4 ile bölünüp 6 ile bölünemeyen 2 basamaklı kac tane doğal sayı vardır?

4 ile bölünenler:{12,16,...,96}=>22 tane
4 ve 6 ya bölünenler (yani ekok(4,6)=12 ye):{12,24,...,96}=>8 tane
4 e bölünüp, 6 ya bölünmeyenler:22-8=14 tane...

CaKaL29 demiş kisoru4)39! sayısı 12 tabanında yazıldığında sayının sonunda kac tane sıfır olusur

12=3.4 olduğundan 39! içinde kaç tane 12 çarpanı olduğu büyük asal çarpan 4 e bağlıdır...
39/4 ün bölümü:::9
39/16 nın bölümü:::2
toplam 11 tane 4 çarpanı var...
yani 39!, Ax12^11 biçiminde olduğundan 12 tabanında sonunda 11 tane sıfır bulunur...

1. x² - 2 ve y + 4 aralarinda asal sayilar ve x².y + 4x² - 2y = 123 verilmis. x² - 2 ve y + 4 sayilarini carparsak;

(x² - 2).(y + 4) = x².y + 4x² - 2y -8 sonucunu elde ederiz. Bu sonucu yakalamak icin bize verilen x².y + 4x² - 2y = 123 esitliginde, esitligin her iki tarafina da -8 ekleyelim

x².y + 4x² - 2y = 123

=> x².y + 4x² - 2y -8 = 123 -8
=> x².y + 4x² - 2y -8 = 115
=> (x² - 2).(y + 4) = 23.5

Bu durumda iki ihtimal karsimiza cikiyor. x² - 2 = 23 icin; y + 4 = 5 veyahut x² - 2 = 5 icin; y + 4 = 23 Ikinci ihtimalden rahatlikla gorecegin gibi x bir pozitif tamsayi cikmayacaktir. Nitekim soruda bize x'in ve y'nin pozitif birer tamsayi oldugu verilmis. O halde ilk ihtimalimizden x'in ve y'nin degerlerini bulalim.

x² - 2 = 23 => x² = 25 => x = 5 (-5 cozum kumesi olarak alinamaz, x pozitif bir tamsayi)
y + 4 = 5 => y = 1

=> x + y = 5 + 1 = 6

--------------------

2. x² = 120.y esitligi verilmis ve bizden x + y nin olabildigince kucuk olmasi isteniyor. Dolayisiyla bulacagimiz x ve y pozitif tamsayilari olabildigince kucuk olmali. Verilen esitlikte 120 sayisinin carpanlara ayrilmis halini yazalim.

120 = 12.10 = 2².3.2.5 = 2³.3.5 icin;

x² = 2³.3.5.y

x ve y sayilarinin birer pozitif tamsayi olmasi istendigine ve x ve y pozitif tamsayilarinin olabildigince kucuk degerleri istendigine gore, y yerine oyle bir sayi koymaliyim ki 2³.3.5 sayisini olabildigince kucuk bir tamkare sayiya tamamlasin.

Bu kosullar altinda y pozitif tamsayisinin esiti 2.3.5'tir. Dolayisiyla esitlik;

x² = 2³.3.5.2.3.5 = 2^4.3².5² seklini alir. Bu durumda her iki tarafin karekokunu alirsan;

x = 2².3.5 = 60 olacaktir. y pozitif tamsayisi zaten 2.3.5 = 30 idi. Toplamlari;

x + y = 60 + 30 = 90 sonucu elde edilir.

--------------------

3. Amacim 4 ile bolunebilen tum 2 basamakli dogal sayilari bulup, daha sonra bu sayilardan 6 ile bolunebilen sayilari cikartmak.

2 basamakli tum dogal sayilar [10,99] kapali araligindaki sayilardir. Dolayisiyla ust sinirdan alt siniri cikartip 4'e boldugum zaman elde edecegim bolum bana 2 basamakli 4 ile bolunebilen dogal sayilarin kac tane oldugunun cevabini verecektir.

(99 - 10) / 4 isleminin sonucundan elde edilen bolum 22 dir. 4 ile bolunebilen 2 basamakli dogal sayilarin kac tane oldugunu bulduk. Simdi bu sayilardan 6 ile bolunebilenleri cikartmaliyiz ki soruda bize soylenen gibi 4 ile bolunup 6 ile bolunemeyen 2 basamakli dogal sayilarin sayisini bulalim.

Elde ettigimiz bu sayilardan 6 ile bolunebilenleri cikartacagiz, yani bu sayilarin icersinde 6 ile bolunebilenleri tespit etmemiz gerekiyor. Bu sayilar icersinde 6 ile de bolunebilen sayilar hem 4'e hem de 6'ya bolunebilen sayilardir. Bir sayinin hem 4'e hem de 6'ya bolunebilmesi demek EKOK(4,6) ya bolunebilmesi demektir. 4 ile 6 sayilarinin en kucuk ortak katinin 12 oldugunu rahatca gorebilecegini tahmin ediyorum. Dolayisiyla aradigim sayilar aslinda 12 ile tam bolunebilen 2 basamakli dogal sayilarin ta kendisidir. Iki basamakli dogal sayilardan 12 ile tam bolunebilen sayilarin 8 tane oldugunu kolaylikla bulabilecegini tahmin ediyorum.

Dolayisiyla 4 ile bolunebilen iki basamakli dogal sayilarin sayisi 22, buna karsin 12 ile bolunebilen, yani hem 4'e hem de 6'ya bolunebilen iki basamakli dogal sayilarin sayisi 8 dir. Soru benden 2 basamakli dogal sayilardan 4 ile bolunup 6 ile bolunemeyenlerin sayisini istiyor. Aradigim cevap;

22 - 8 = 14'tir.

--------------------

4. 10 tabaninda verilen bir sayiyi baska bir tabanda yazmak icin, bu sayiyi bizden hangi tabanda yazmamiz isteniyorsa o sayiya surekli olarak boluyorduk. 39! sayısı 12 tabanında yazıldığında sayının sonunda kac tane sıfır olusur sorusunun cevabini bulmak icin 39! sayisinin icersinde kac tane 12 carpani vardir (39! sayisini surekli olarak 12'ye bolmek ayni seydir.) bunun cevabini vermemiz gerekiyor.

12 = 2².3 'ten 12 sayisinin 2²'lerden ve 3'lerden olsutugunu rahatca gorebilirsin. 39! sayisinin icersinde 2²'ler mi yoksa 3'ler mi hangisi daha az ise onun sayisi kadar 39! sayisinin icersinde 12 carpani olacaktir.

39! in icersinde 3'lerin veya 2²'lerin kac tane oldugunun hesabi su sekilde yapilir.

39 / 3 = 13
13 / 3 = 4
4 / 3 = 1

O halde 39! sayisinin icersinde toplam 13 + 4 + 1 = 18 tane 3 carpani vardir. Simdi 2²'lere bakacagiz..

39 / 2 = 19
19 / 2 = 9
9 / 2 = 4
4 / 2 = 2
2 / 2 = 1

39! sayisinin icersinde toplam 19 + 9 + 4 + 2 + 1 = 35 tane 2 carpani vardir. Ancak bana lazim olan 2'ler degil 2²'ler.

2^35 = 2^34.2 = (2²)^17.2 seklinde belirtirsem 39! sayisinin icersinde 17 tane 2² carpani oldugunu gormus olurum.

39! sayisi icersinde 17 tane 2² ve 18 tane 3 carpani olduguna gore, 39! sayisi icersinde 17 tane (az olan belirleyici olandir) 12 carpani vardir diyebilirim. Bunun anlami sudur; 37! sayisinin icersindeki tum 12 carpanlarini ayirdigim zaman geride kalan sayilarin carpimi A olmak uzere, 37! = 12^17 . A dir. Dolayisiyla 37! sayisini 12 tabaninda yazdigim zaman 12^0 lar, 12^1 ler, .........., 12^16 lar basamaklarinin yerinde hep 0 rakami olacak ve 12^17 ler basamaginda 0'dan farkli bir sayi olacaktir. Sonuc olarak 37! sayisinin 12 tabanindaki hali yazildiginda bastan toplam 17 hanede 0 rakami olacaktir.

Basarilar..

--

Erhan hocam ben mesaji yazarken cevaplamis bile eline saglik. Bunlarin da hem aciklayici hem de yardimci olacagini dusunuyorum.

Ancak son soru hakkinda ayni fikirde degilim.

39! sayisinin icersindeki 4'lerin sayisini bulurken 39'u surekli olarak 4'e bolersek 2,6,10 gibi sayilarin icersinde bulunan 2 carpanlarini ihmal etmis oluruz. Bunun yerine 39'u surekli olarak 2'ye bolersek;

39 / 2 = 19
19 / 2 = 9
9 / 2 = 4
4 / 2 = 2
2 /2 = 1

39! sayisinin icersinde 19 + 9 + 4 + 2 + 1 = 35 tane 2 carpani oldugu gorulur. Yani 39! sayisi;

39! = 2^35 . A (A, 39! sayisinin icersindeki 2 carpanlari ayrildigi zaman geriye kanal tum sayilarin carpimi olmak uzere) seklinde belirtilebilir. Elde edilmek istenen 2²'lerin sayisi olduguna gore;

39! = 2^35 . A = 2^34 . 2 . A = (2²)^17 . 2 . A elde edilir. Buradan 37! sayisinin icersinde 17 tane 2² yani 4 oldugu bulunur.