08-04-2007, 14:45
Tarihi incelersek , ilk çaglarda bile bugün bilgisayarlarda kullanilan ikili sistemin Misir aritmetiginde kullanildigini görürüz. Yine o çaglarda dairenin çevresini, Nil Nehri'nin tasma zamanlarini saptamak için mevsimleri ve böylece 365 günü içeren takvimlerin hazirlandigini belirleriz. Baska ülkelerin bilimlerini inceleyen yunanlilarda ilk köklü bilgileri misirlilardan ögrenmis oldular. Yine geçerliligini her zaman koruyan "Bir dik açili üçgenin uzun kenarinin karesinin, öteki iki kenarin kareleri toplamina esit oldugunu" belirten ünlü Pisagor Teoremi M.Ö. 570 yillarinda kanitlanmistir. Hintliler bugün de tüm dünyada kullanilan 0’ ida içeren onluk sayi sistemini kurmuslardir. En büyük Arap matematikçisi El-Harizmi (780-850) cebirin kurucusudur. Orta çag Avrupa matematigi bu bilginin eserlerinden olusmaktadir. Araplar dünyaya eski ve çagdas bilim konusunda essiz hizmette bulundular. Hint ve Çin buluslarini dünyaya tanittilar. Ancak modern bilimin kurucusu olamadilar.
Tüm ilkel toplumlarda ticaret takastan öte bir nitelik kazanir kazanmaz sayi ve ölçü kavramlari gelisti. Sayi kavrami matematigin temelini olusturur. Sayilar çiftçilerin ürünlerini sayma gereksinmesinden dogmustur. Sayilar alisverisi de olanakli kilan para sistemlerinin ortaya çikmasina yol açmistir. Daha sonra yunanlilar matematiksel usa vurmayi mantiksal bir temele oturtarak ve böylece kendilerini kanitlayici olmayan önermelerin, temel varsayimlardan çikarilabilmesini saglayarak matematigi kesin bir bilim dali haline getirdiler. Ayrica müzik ve resimle iliskiler kurarak mantiksal düsünüslerini sanatlari da içerecek biçimde genislettiler. Fakat matematik 16. yüzyila dek pek fazla gelismedi. Günümüzde tüm dünya esi görülmemis bir degisim yasamaktadir.
Insanlar günlük yasamda *** sik aritmetikten yararlanmakla birlikte üzerinde hemen hemen hiç düsünmezler. Örnegin; günlük dilde kullandigimiz bir çok sözcügün anlamini da pek bilmeyiz. Sorulursa sasiririz, bocalariz. Aslinda düsünmeden yaptigimiz bir çok davranisin nedenlerini de arastirmayiz. Herhangi bir sey satin alan biri ödedigi ücreti ve geri aldigi para üstünü sayarken ticaretin basladigi dönemden beri kullanilan bilgileri kullandigini fark etmez bile, temel toplama ve esitlik kavramlarini kullandigini düsünmez.
Aritmetigin dört temel islemi vardir. Bunlar toplama, çikarma, çarpma ve bölmedir. Bu dört temel kural yasamin her safhasinda geçerliligini yitirmez. Okullarimizda birkaç yildan beri matematik dersleri ögretim programlari Modern Matematik adiyla okutulmaktadir. Neden Modern Matematik denildigini bir türlü anlayamiyorum. Tüm ögrenciler, veliler buna tepki gösteriyor. Tepkinin en fazlasi ise "çocuklarimiz dört islemi ögrenemiyorlar" savinadir. Oysa bu sav tümüyle yanlis. Dört islem de ögretiliyor yasam için gereksinim duyulan tüm konular da. Ögrencinin siniflari degistikçe konulari da degisecektir. Matematikte geliserek devam edecektir. Her seyden önemlisi içinde yasadigimiz dünyada bilim, teknik gelistikçe bizde bu degisime ayak uyduracagiz. Degisimleri egitim yasantimiza uygulamak zorundayiz. Dün 20. yüzyildi bugün 21. yüzyil. Dün daktilo ile yaziyorduk, bugün bilgisayarla ve dünya parmaklarimizin ucunda.
Biz tekrar dört isleme dönelim. Bunlarin bir çogu sadece sagduyu yoluyla ortaya konmus olan temel yasalar izlenerek yapilir. Degisme özeligi hem toplamada hem çarpmada vardir. Bu yasa yalnizca 7 ile 5 in toplama örneginde oldugu gibi 7+5 ya da 5 ile toplama örnegindeki 5+7 nin toplamina esit oldugunu söyler. Baska bir deyisle sayilari toplama sirasi önemli degildir. Ayni özelik çarpma isleminde de vardir. 4x3 çarpma islemi 3x4 olarak gösterilirse sonuç degismez. Bu bize matematik programinin degismesiyle matematige çagdas bir boyut kazandirdigimizi anlatiyor. Bu boyut matematige giren yorumdur. 2x2 her zaman 4 degildir. Çok eskiden televizyonda zevkle izledigimiz bir dizi vardi."Gökyüzü Prensleri" Adim adim uçagin evrimini anlatmaktaydi. Burada uçagi evrimlestirenlerin nasil ugras verdiklerini izledik. Matematigi kullanarak önce kagit üzerinde uçagin modelini yaptilar. Yaptiklari matematik islemleri ile uçagin havada ne kadar kalacagini hesapladilar. Bu bizim matematikte yaptigimiz birebir esleme yöntemidir. Aslinda eselemeye çok daha tanidik bir çok örnek verebiliriz. Harita dünya üzerindeki noktalarla birebir eslemedir. Dikkat ettiniz mi? Konusmaya yeni baslayan bir çocuk elinin parmaklariyla evdeki insanlari esleyerek sayar. Alisveris yaptigimizda parayla, aldigimiz mali esleriz.
Sayi kavrami matematigin temel bir kavramidir demistik. Oysa sayi yasamin temel bir kavramidir. Tek ile çok arasindaki kavrami çocuk çok iyi kavrar. Deniz kiyisinda bir çok çakil tasi gören bir çocuk bunlarin arasindan sadece bir tane alabilir. Bir avuç aldigi zaman toplamdan az ama bir taneden fazla aldigini bilir. Kaç tasa sahip oldugu konusunda bir fikir edinebilmek için elindeki taslari sayar. Örnegin 15 kalem. Burada "15" adet bildirmektedir. 15 t0p, 15 marti, 15 ekmek gibi. Sayilabilecek tüm cisimlerin ortak bir özeligidir. Yetiskin insanlar bir çok temel kavrami anlamakta zorluk çekerler ama çocuklar yasamlarinin ilk evrelerinde bu kavramlar konusunda sezgisel bir anlayisa sahiptirler. Her aile bir kümedir. Anne, baba ve çocuklar. Bir çok ailenin olusturdugu kümeler toplulugu evrensel kümeyi olusturur. Her aile alt parçalara ayrilabilir. Bunlara alt kümeler denir. Iki küme kesisebilir veya birlesebilir. Olusan yeni kümelere kesisim veya birlesim kümeleri denir. Küme islemlerindeki kesisim ve birlesim, mantiktaki niceleyicilerin karsiligidir. Bu iliski kümelerdeki bazi önermelerin mantiksal önermelerle ifade edilmesini mümkün kilar. Öyleyse matematik çagdas yasamla iç içedir. Her zaman moderndir. Biri digerinden soyutlanamaz.
Ölçme bugün yasamimizda büyük bir yer tutar. Fizik dersinde yaptigimiz ayni deneyin sonuçlarinin farkli gruplarinin farkli ölçülerle degerlendirildigini görürüz. Bu o deneydeki geçerliligi mi kanitlar? Hayir sadece ölçmede farkliliklar vardir. "Burada en dogru ölçümü kim yapmistir?" diye sorabiliriz. Yanit " Tüm ögrencilerdir." Farklilik ölçü aletlerinin kullanilis biçiminde kaynaklanmis olabilir. Yeri gelmisken kimin yazdigini bilmedigim bir öyküyü anlatmadan geçemeyecegim. Dört kisiden biri kimyaci, biri fizikçi, biri matematikçi ve bir digeri de insan bilimcidir. Her birine birer barometre verilerek bir kilise kulesinin yüksekligini ölçmeleri söyleniyor. Kimyaci gazlar konusunda her seyi biliyordu. Kulenin altindaki ve üstündeki hava basinçlarini ölçtü (0-60) metre arasinda dedi. Fizikçi pahali araçlari umursamazca kullanmaya aliskindi. Barometresini kuleden asagi atti ve düsüs süresini ölçerek yüksekligi (22-27) metre arasinda hesapladi. Matematikçi kulenin gölgesinin uzunlugunu barometrenin uzunlugu ile karsilastirdi ve (30-30,5) metre arasinda dedi. Insan bilimci ise barometreyi satti elde ettigi parayla kilisenin zangocuna birkaç kadeh içki ismarladi. Ve kule yüksekliginin 30,4 metre oldugunu ögrendi. Bu öyküden de anlasilacagi gibi degisik ölçmelerin degisik sonuçlar verecegi ortadadir.
Modern dünyada yasam büyük ölçüde insanin kesin ölçümler yapabilme yetenegine baglidir. Dünyanin çesitli yerlerinde ölçümler için uzunluk, zaman, kütle, gerilim ve bir çoklari için standart ölçü birimleri kullanilir. Bunun sonucu olarak Japonya'da yapilan bir mil yatagi bes yil önce Almanya'da yapilmis olan bir motor miline tipatip uyabilir.
Sümerler bir elin parmaklari olan 10 sayisini ve onluk sayma sistemini kullanmislardir. 12 araligini bularak zamani saatle, 60 sayisindan yararlanarak zamani ölçen saati, dakikayi, saniyeyi bulmuslardir. Hiçbir sey birden ortaya çikmamistir. Ama matematik bir gereksinmedir. Yasamin bir parçasidir. Yasamin her evresi matematiktir. Dogru düsünme kurallarini ögretir. Düsünce ile somut kavramlar arasinda baginti kurar. Sosyal ve bilimsel gelisme sürecini çabuklastirir. Insan zekasini gelistirir. Bunun en yakin örnegi; 10 yasindaki bir ögrencinin bir üniversitenin matematik bursunu kazanmasidir. Aslinda her çocuk dogdugunda bir harikadir. Onu islemek yasamin en ileri seviyesine götürmek egitmek güç istir. Kendimizden vermeden, sürekli alarak hem matematik hem de hiçbir sey ögretilemez. Basarili olmak degil, ögrenmek bile mümkün degildir. Matematik tüm yasamdir. Yasami seviyoruz, öyleyse matematigi de sevmeliyiz. önermesinin dogruluk degeri daima 1 olmalidir. Gelisen, degisen, hem de hizla degisen dünyaya seyirci kalamayiz. (Alinti)
Tüm ilkel toplumlarda ticaret takastan öte bir nitelik kazanir kazanmaz sayi ve ölçü kavramlari gelisti. Sayi kavrami matematigin temelini olusturur. Sayilar çiftçilerin ürünlerini sayma gereksinmesinden dogmustur. Sayilar alisverisi de olanakli kilan para sistemlerinin ortaya çikmasina yol açmistir. Daha sonra yunanlilar matematiksel usa vurmayi mantiksal bir temele oturtarak ve böylece kendilerini kanitlayici olmayan önermelerin, temel varsayimlardan çikarilabilmesini saglayarak matematigi kesin bir bilim dali haline getirdiler. Ayrica müzik ve resimle iliskiler kurarak mantiksal düsünüslerini sanatlari da içerecek biçimde genislettiler. Fakat matematik 16. yüzyila dek pek fazla gelismedi. Günümüzde tüm dünya esi görülmemis bir degisim yasamaktadir.
Insanlar günlük yasamda *** sik aritmetikten yararlanmakla birlikte üzerinde hemen hemen hiç düsünmezler. Örnegin; günlük dilde kullandigimiz bir çok sözcügün anlamini da pek bilmeyiz. Sorulursa sasiririz, bocalariz. Aslinda düsünmeden yaptigimiz bir çok davranisin nedenlerini de arastirmayiz. Herhangi bir sey satin alan biri ödedigi ücreti ve geri aldigi para üstünü sayarken ticaretin basladigi dönemden beri kullanilan bilgileri kullandigini fark etmez bile, temel toplama ve esitlik kavramlarini kullandigini düsünmez.
Aritmetigin dört temel islemi vardir. Bunlar toplama, çikarma, çarpma ve bölmedir. Bu dört temel kural yasamin her safhasinda geçerliligini yitirmez. Okullarimizda birkaç yildan beri matematik dersleri ögretim programlari Modern Matematik adiyla okutulmaktadir. Neden Modern Matematik denildigini bir türlü anlayamiyorum. Tüm ögrenciler, veliler buna tepki gösteriyor. Tepkinin en fazlasi ise "çocuklarimiz dört islemi ögrenemiyorlar" savinadir. Oysa bu sav tümüyle yanlis. Dört islem de ögretiliyor yasam için gereksinim duyulan tüm konular da. Ögrencinin siniflari degistikçe konulari da degisecektir. Matematikte geliserek devam edecektir. Her seyden önemlisi içinde yasadigimiz dünyada bilim, teknik gelistikçe bizde bu degisime ayak uyduracagiz. Degisimleri egitim yasantimiza uygulamak zorundayiz. Dün 20. yüzyildi bugün 21. yüzyil. Dün daktilo ile yaziyorduk, bugün bilgisayarla ve dünya parmaklarimizin ucunda.
Biz tekrar dört isleme dönelim. Bunlarin bir çogu sadece sagduyu yoluyla ortaya konmus olan temel yasalar izlenerek yapilir. Degisme özeligi hem toplamada hem çarpmada vardir. Bu yasa yalnizca 7 ile 5 in toplama örneginde oldugu gibi 7+5 ya da 5 ile toplama örnegindeki 5+7 nin toplamina esit oldugunu söyler. Baska bir deyisle sayilari toplama sirasi önemli degildir. Ayni özelik çarpma isleminde de vardir. 4x3 çarpma islemi 3x4 olarak gösterilirse sonuç degismez. Bu bize matematik programinin degismesiyle matematige çagdas bir boyut kazandirdigimizi anlatiyor. Bu boyut matematige giren yorumdur. 2x2 her zaman 4 degildir. Çok eskiden televizyonda zevkle izledigimiz bir dizi vardi."Gökyüzü Prensleri" Adim adim uçagin evrimini anlatmaktaydi. Burada uçagi evrimlestirenlerin nasil ugras verdiklerini izledik. Matematigi kullanarak önce kagit üzerinde uçagin modelini yaptilar. Yaptiklari matematik islemleri ile uçagin havada ne kadar kalacagini hesapladilar. Bu bizim matematikte yaptigimiz birebir esleme yöntemidir. Aslinda eselemeye çok daha tanidik bir çok örnek verebiliriz. Harita dünya üzerindeki noktalarla birebir eslemedir. Dikkat ettiniz mi? Konusmaya yeni baslayan bir çocuk elinin parmaklariyla evdeki insanlari esleyerek sayar. Alisveris yaptigimizda parayla, aldigimiz mali esleriz.
Sayi kavrami matematigin temel bir kavramidir demistik. Oysa sayi yasamin temel bir kavramidir. Tek ile çok arasindaki kavrami çocuk çok iyi kavrar. Deniz kiyisinda bir çok çakil tasi gören bir çocuk bunlarin arasindan sadece bir tane alabilir. Bir avuç aldigi zaman toplamdan az ama bir taneden fazla aldigini bilir. Kaç tasa sahip oldugu konusunda bir fikir edinebilmek için elindeki taslari sayar. Örnegin 15 kalem. Burada "15" adet bildirmektedir. 15 t0p, 15 marti, 15 ekmek gibi. Sayilabilecek tüm cisimlerin ortak bir özeligidir. Yetiskin insanlar bir çok temel kavrami anlamakta zorluk çekerler ama çocuklar yasamlarinin ilk evrelerinde bu kavramlar konusunda sezgisel bir anlayisa sahiptirler. Her aile bir kümedir. Anne, baba ve çocuklar. Bir çok ailenin olusturdugu kümeler toplulugu evrensel kümeyi olusturur. Her aile alt parçalara ayrilabilir. Bunlara alt kümeler denir. Iki küme kesisebilir veya birlesebilir. Olusan yeni kümelere kesisim veya birlesim kümeleri denir. Küme islemlerindeki kesisim ve birlesim, mantiktaki niceleyicilerin karsiligidir. Bu iliski kümelerdeki bazi önermelerin mantiksal önermelerle ifade edilmesini mümkün kilar. Öyleyse matematik çagdas yasamla iç içedir. Her zaman moderndir. Biri digerinden soyutlanamaz.
Ölçme bugün yasamimizda büyük bir yer tutar. Fizik dersinde yaptigimiz ayni deneyin sonuçlarinin farkli gruplarinin farkli ölçülerle degerlendirildigini görürüz. Bu o deneydeki geçerliligi mi kanitlar? Hayir sadece ölçmede farkliliklar vardir. "Burada en dogru ölçümü kim yapmistir?" diye sorabiliriz. Yanit " Tüm ögrencilerdir." Farklilik ölçü aletlerinin kullanilis biçiminde kaynaklanmis olabilir. Yeri gelmisken kimin yazdigini bilmedigim bir öyküyü anlatmadan geçemeyecegim. Dört kisiden biri kimyaci, biri fizikçi, biri matematikçi ve bir digeri de insan bilimcidir. Her birine birer barometre verilerek bir kilise kulesinin yüksekligini ölçmeleri söyleniyor. Kimyaci gazlar konusunda her seyi biliyordu. Kulenin altindaki ve üstündeki hava basinçlarini ölçtü (0-60) metre arasinda dedi. Fizikçi pahali araçlari umursamazca kullanmaya aliskindi. Barometresini kuleden asagi atti ve düsüs süresini ölçerek yüksekligi (22-27) metre arasinda hesapladi. Matematikçi kulenin gölgesinin uzunlugunu barometrenin uzunlugu ile karsilastirdi ve (30-30,5) metre arasinda dedi. Insan bilimci ise barometreyi satti elde ettigi parayla kilisenin zangocuna birkaç kadeh içki ismarladi. Ve kule yüksekliginin 30,4 metre oldugunu ögrendi. Bu öyküden de anlasilacagi gibi degisik ölçmelerin degisik sonuçlar verecegi ortadadir.
Modern dünyada yasam büyük ölçüde insanin kesin ölçümler yapabilme yetenegine baglidir. Dünyanin çesitli yerlerinde ölçümler için uzunluk, zaman, kütle, gerilim ve bir çoklari için standart ölçü birimleri kullanilir. Bunun sonucu olarak Japonya'da yapilan bir mil yatagi bes yil önce Almanya'da yapilmis olan bir motor miline tipatip uyabilir.
Sümerler bir elin parmaklari olan 10 sayisini ve onluk sayma sistemini kullanmislardir. 12 araligini bularak zamani saatle, 60 sayisindan yararlanarak zamani ölçen saati, dakikayi, saniyeyi bulmuslardir. Hiçbir sey birden ortaya çikmamistir. Ama matematik bir gereksinmedir. Yasamin bir parçasidir. Yasamin her evresi matematiktir. Dogru düsünme kurallarini ögretir. Düsünce ile somut kavramlar arasinda baginti kurar. Sosyal ve bilimsel gelisme sürecini çabuklastirir. Insan zekasini gelistirir. Bunun en yakin örnegi; 10 yasindaki bir ögrencinin bir üniversitenin matematik bursunu kazanmasidir. Aslinda her çocuk dogdugunda bir harikadir. Onu islemek yasamin en ileri seviyesine götürmek egitmek güç istir. Kendimizden vermeden, sürekli alarak hem matematik hem de hiçbir sey ögretilemez. Basarili olmak degil, ögrenmek bile mümkün degildir. Matematik tüm yasamdir. Yasami seviyoruz, öyleyse matematigi de sevmeliyiz. önermesinin dogruluk degeri daima 1 olmalidir. Gelisen, degisen, hem de hizla degisen dünyaya seyirci kalamayiz. (Alinti)