sadece meraktan soruyorum
y'' + 6y' + 13y=4cos3x
nasıl yapılacağını adım adım anlatır mısınız ?
Birazcık da olsa öğrenmiş olurum
Öncelikle bu denklem, sağ tarafı 0 olmadığından homojen olmayan sabit katsayılı diferansiyel denklemdir. Öncelikle homojen çözümü bulmalısın.
1) y = e^rx şeklinde çözüm aradığını düşün. y' = r * e^rx ve y'' = r^2* e^rx olur. Bunları yerine koyarsan (r^2 + 6r + 13)* e^rx = 0 olur. Bu denklemin çarpanlarından e^rx herzaman 0'dan büyük olacağından elinde, r^2 + 6r + 13 = 0 karakteristik denklemi kalır. Bu denklemin diskriminantı negatif (-16) olduğundan sanal çözüm bulursun. Bu denklemin çözümü r1 = -3 + 2i ve r2 = -3 - 2i çıkar. Burada i^2 = -1 dir. Euler eşitliğinden e^(a+bi)x = e^ax * (cosbx + i* sinbx) olur ki buradan yh = c1* e^-3x * sin2x + c2 * e^-3x * cos2x çıkar.
2) Şimdi denklemin özel çözümünü bulmalısın. Normalde yö = A * sin3x olmalıdır fakat bunu denklemde yerine koyarken cos3x terimi de geleceğinden yö = A * sin3x + B * cos3x alınmalıdır. Burada y' = 3A * cos3x -3B * sin3x ve y'' = -9A * sin3x - 9B * cos3x. Bunları yerine koyalım:
(-9A * sin3x - 9B * cos3x) + 6 * (3A * cos3x - 3B * sin3x) + 13 * (A * sin3x + B * cos3x) = 4cos3x. Sadeleştirmelerle;
(4A - 18B) * sin3x + (18A + 4B) * cos3x = 4cos3x olur. Katsayıları eşitlersek;
4A - 18B = 0 ve 18A + 4B = 4 olur. Bu denklemleri çözersek A = 18/85 ve B = 4/85 çıkar. Böylece yö = 18/85 * sin3x + 4/85 * cos3x olur.
3) Denklemin çözümü y = yh + yö olur. Yani y = c1* e^-3x * sin2x + c2 * e^-3x * cos2x + 18/85 * sin3x + 4/85 * cos3x
teşekkürler anlatım güzel
Bir şey değil. Önemli olan en kısa yoldan çözüme götürecek yolu bulmak.