22-03-2007, 02:22
Tanım (Periyodik Fonksiyon). Reel sayılar kümesinin bir E altkümesinden IR ye bir f fonksiyonu verilsin ve sıfırdan farklı sabit bir reel sayı k olsun. Eğer her x E için
f(x+k) = f(x)
eşitliği sağlanıyorsa f fonksiyonuna periyodiktir denir, k ya da f in bir peryodu adı verilir.
Konumuzu incelerken E=IR olması halini gözönüne alacak ve EÌIR, E¹IR olması hali incelendiği zaman özellikle belirtilecektir. Bu tanıma göre IR den IR ye bir f fonksiyonunun peryodikliğini daha sade olarak şöyle ifade ederiz her x IR için
f(x+k)= f(x)
olacak şekilde bir sıfırdan farklı k sayısı bulunabiliyorsa f e peryodiktir denir ve k ya da f in peryodu denir.
Örnek. Her x IR için f(x)=sin x ile tanımlanan f fonksiyonu peryodiktir ve f in peryodu 2 p dir.
Eğer bir k sayısı f in bir peryodu ise -k sayısı da f in bir peryodudur; çünkü k peryot olduğundan sıfırdan farklıdır dolayısıyla -k¹0 dır. Yine k peryot olduğundan x-k IR için
f(x-k) = f((x-k)+k)= f(x)
olur. O halde -k sayısı da f in bir peryodudur.
Eğer k sayısı bir f fonksiyonun bir peryodu ise herbir n IN için nk sayısının da f in peryodu olduğu tümevarımla gösterilebilir. n=1 için 1.k=k sayısı f için bir peryottur. Şimdi n=m için m.k nın f nin peryodu olduğunda n=m+1 için (m+1)k nın da f nin peryodu olduğunu gösterelim. n=m için m.k sayısının f fonksiyonunun bir peryodu olduğunu kabul edelim. Her x IR için
f(x+(m+1)k) = f(x+mk+k) = f((x+mk)+k); k peryot old.
= f(x+mk) ; mk peryot olarak kabul edildiğinden
= f(x)
bulunur. O halde (m+1) k sayısı da peryot olur. Böylece tümevarım prensibinden dolayı her n IN için nk sayısı peryot olur.
Eğer k sayısı f fonksiyonunu bir peryodu ise her negatif m tamsayısı için mk sayısı da f fonksiyonunun bir peryodudur. Çünkü; m negatif bir tamsayı ise m= -n olacak şekilde bir n IN vardır. nk sayısı f in bir peryodu olur. -nk da f in peryodu olur. Dolayısıyla mk, f in peryodu olur
f(x+k) = f(x)
eşitliği sağlanıyorsa f fonksiyonuna periyodiktir denir, k ya da f in bir peryodu adı verilir.
Konumuzu incelerken E=IR olması halini gözönüne alacak ve EÌIR, E¹IR olması hali incelendiği zaman özellikle belirtilecektir. Bu tanıma göre IR den IR ye bir f fonksiyonunun peryodikliğini daha sade olarak şöyle ifade ederiz her x IR için
f(x+k)= f(x)
olacak şekilde bir sıfırdan farklı k sayısı bulunabiliyorsa f e peryodiktir denir ve k ya da f in peryodu denir.
Örnek. Her x IR için f(x)=sin x ile tanımlanan f fonksiyonu peryodiktir ve f in peryodu 2 p dir.
Eğer bir k sayısı f in bir peryodu ise -k sayısı da f in bir peryodudur; çünkü k peryot olduğundan sıfırdan farklıdır dolayısıyla -k¹0 dır. Yine k peryot olduğundan x-k IR için
f(x-k) = f((x-k)+k)= f(x)
olur. O halde -k sayısı da f in bir peryodudur.
Eğer k sayısı bir f fonksiyonun bir peryodu ise herbir n IN için nk sayısının da f in peryodu olduğu tümevarımla gösterilebilir. n=1 için 1.k=k sayısı f için bir peryottur. Şimdi n=m için m.k nın f nin peryodu olduğunda n=m+1 için (m+1)k nın da f nin peryodu olduğunu gösterelim. n=m için m.k sayısının f fonksiyonunun bir peryodu olduğunu kabul edelim. Her x IR için
f(x+(m+1)k) = f(x+mk+k) = f((x+mk)+k); k peryot old.
= f(x+mk) ; mk peryot olarak kabul edildiğinden
= f(x)
bulunur. O halde (m+1) k sayısı da peryot olur. Böylece tümevarım prensibinden dolayı her n IN için nk sayısı peryot olur.
Eğer k sayısı f fonksiyonunu bir peryodu ise her negatif m tamsayısı için mk sayısı da f fonksiyonunun bir peryodudur. Çünkü; m negatif bir tamsayı ise m= -n olacak şekilde bir n IN vardır. nk sayısı f in bir peryodu olur. -nk da f in peryodu olur. Dolayısıyla mk, f in peryodu olur