Matematik Forum |Matematik,Geometri,Matematik Ders Notları

Tümevarımsal ispat yönteminin bize bir önermenin doğru oldğunu nasıl ispatladığını kavrayamadım . Anlayamadığım noktalar var . Bir örnek üzerinden izah etmeye çalışayım .

--------------------------

Ör. :

p(n) : 1+2+3+...+ n = n(n+1) olsun .
.........................................2

i) n=1 için p(1) : 1 = 1 . 2 olup önerme doğrudur .
....................................2

ii) n = k için önermenin doğru olduğunu varsayalım ,

yani p(k) : 1+2+3+...+k = k(k+1) olsun .
.............................................. 2

p(k+1) : 1+2+3+...+k+(k+1) = (k+1) (k+2) olduğunu göstereceğiz .
.......................................................2

p(k) önermesinin her iki yanına (k+1) ekleyelim .


1+2+3+...+k+(k+1) = k(k+1) + (k+1)
......................................2

= k(k+1) + 2 (k+1)
...........2

= (k+1)(k+2)
...........2

p(k+1) doğru olduğundan ∀ n ∈ N[SUP]+[/SUP] için p(n) doğrudur.


-----------------------------------
i ) önermenin 1 için doğru olduğunu görüyoruz .
ii) de ise kanıtlanacağı söylenen önermenin k versiyonu doğru varsayılıyor . Sonrada eşitliğin iki tarafına (k+1) eklenip bu durumunda eşit olduğu "gösteriliyor" ve kanıt bitiyor .
Bu şuna benziyor .
A = B önermesi kanıtlanacak ;
(A=B) = (C=D) diyelim .
C+x = D+x eşit çünkü C=D doğru varsaymıştık .
C= D+x-x ⇒ C= D ;
(C=D) = (A=B) dediğimizden
A=B önermesi doğrudur .
Al sana kanıt !

* Tümevarımın bu kadar dayanaksız olabileceğini düşünemiyorum . Muhakkak bir yerde birşeyi gözden kaçırıyorum ve bu onu kavramama engel oluyor . Bana bu noktayı gösterirseniz sevinirim .

En son verdiğin örnekten hiç bir şey anlamadım.Ayrıca bazı karakterlerde sorun var galiba.İstersen onu yeniden düzenleyip gönder ve ifadelerinde biraz daha açıklayıcı olmaya çalış.Belki o zaman sana yardımcı olabilirim.

Evet. Bazı sembol karakterlerin çıkmamış olduğunu şimdi farkediyorum . Son satır " p(k+1)doğru olduğundan her n elemanıdır n[SUP]+ " [/SUP]şeklinde olacaktı .

Yukarıda örnek verdiğim bir tümevarımlı ispat var . İspat edilmek istenen eşitlik ( p(n) ) p(1) için doğru olduğu gösterilmiş . Ama biz p(n) eşitliğini kanıtlamak istiyoruz . "n=k için önermenin doğru olduğunu varsayalım" demek bir nevi ispat etmeye çalıştığımız şeyi önceden doğru kabul ederek başlamak olmuyor mu ? Bu bana, su perilerinin varlığını kanıtlamak için önce su perilerinin varlığını kabul etmemi şart koşan bir insanın tavrını çağrıştırıyor .

Yukarıdaki örnekte p(n)in doğruluğu , p(k)yı doğru kabul edilmeksizin kanıtlanamıyor mu ? "n" de "k" gibi bir değişken . Bu anlamda farklı bir harfle kodlanması özlerinin aynı olmadığı anlamına gelmez.
Biz p(n)=p(k) dedikten ve p(k) yı doğru kabul ettikten sonra , p(k+1) in doğruluğundan neye dayanarak söz edebiliyoruz . A=B eşitliğini kabul edersek, elbetteki eşitliğin her iki yanına herhangi bir değer eklememiz eşitliği bozmayacaktır . Bu birşeyi kanıtlamaz ki ? Kanıtlar mı ?

"Tümevarım varsayımı" denilen bir hadiseyi içinde barındıran bir kanıtlama yöntemi ? Düşündürüyor bu beni .Matematik bilgimin cılızlığından gelen bir durum olsa gerek . Bir şekilde aşmalıyım. Bu noktada yardımlarınıza ihtiyacım var .

Şöyle düşünebilirsin.Durum önce başlangıç değeri için ispatlanıyor senin örneğinde n=1 için ispatlanıyor.Sonuç doğru mu bu değer için doğru.O zaman şöyle düşünüyorum bu belli bir değere kadar doğru belli bir değerden sonra doğru olmayan bir önerme olabilir.Ama bilmiyorum belki de sonsuza kadar da gitsem her zaman doğru olabilir tabii olmayabilir de.İşte tümevarım yoluyla ispatın anlamaya çalıştığı durum bu -en azından almış olduğum 5 yıllık matematik eğitimim bana bunu söylüyor-.
Şimdi önermenin 1 için doğru olduğunu biliyorum.Buna göre 1 den büyük değerler için doğru olup olmadığını kontrol etmem gerek.Bunu sonlu adımda başarmam mümkün değil çünkü bildiğimiz gibi doğal sayıların sayısı sonlu değil.Bu yüzden önermemim sabit bir k doğal sayısı için doğru olduğunu kabul ediyorum ki bu noktada dikkatini çekerim bu önerme sadece n=1 değeri için doğru olan bir önerme de olabilir ,yani burda k doğal sayısının 1 den büyük olma gibi bir mecburiyeti yok ama şunu biliyoruz ki önerme n=1 için kesinlikle doğru-garanti olmalı- aksi takdirde pürüzler kendini gösterecektir.Yani burada ispatımızın ilk aşamasaında n=1 için doğruluğunu gösterme işi bir sigorta görevi görüyor.
Buna göre artık önermemin n=k gibi bir doğal sayı için doğruluğunu kabullenmemem ya da kabul etmemem için hiçbir neden yok değil mi?Eh o zaman ben de n=k için doğruluğunu kabul ederim o zaman.Ama işim bitti mi hayır?Çünkü bu yeterli değil hala önermemin tüm doğal sayılar için doğru olduğunu gösteremedim sadece bir sabit k doğal sayısına kadar doğruluğunu kabul etmiş oldum ama k dan sonraki bir doğal sayı önermemi yanlışlayabilir.Önermem n=1.000.000 sayısına kadar doğru olabilir ama bu hala n nin her doğal sayısı için sağlandığını göstermez yani 1.000.000.1 için sağlanmayabilir de.Bu yüzden tüm doğal sayılar için doğruluğunu her halikarda göstermem gerekir.Bu yüzden n=k+1 için doğruluğunu da ispatlayarak alacağımız k değeri her ne olursa olsun ondan sonraki alacağımız sayı için de doğru olduğunu göstererek aslında her sağlanan doğru koşulun ardından doğru bir önermenin geleceğini göstermiş olarak ispatı tamamlamış oluruz.Böylece önerme tüm n doğal sayıları için gerçeklenmiş olur ve biz de bu önermenin doğruluğunu kabul ederiz kısaca tümevarımın anlattığı bu bize,umarım biraz açıklayıcı olabilmişimdir.Ama biraz kafa yorman gerekiyor gerçek anlamda idrak edebilmen için,eğer merak edersen matematiksel açıklamasını da verebilirim ama bu biraz daha derindir.

Sayın matematiksever ; açıklamalarınız benim için altın değerinde . Ancak hâlâ mevzu zihnimde demini alabilmiş değil . Anlamaya çalıştığım ilk andan bu zamana kadar ki geçen anlayamama süresince çektiğim sıkıntıya biraz daha katlanmam gerekiyor sanırım. Ancak güzel olan Anlamaya dair umudumun var olması !

Birinci olarak "n=k için önermenin doğru olduğunu varsayalım" tümcesinden ne anladığımı değiştiriyorum . Daha öncesinde bunu kanıtlanmaya çalışılan önermeyi baştan doğru varsayma olarak değerlendirmiştim . Şimdi ise anlatımınızdan, yapılmak istenenin bu olmadığı ; sadece önermeyi doğrulayan olası sayılar kümesinin , herhangi bir elemanı olduğunun (k) kabul edilmesi yönünde olduğunu düşünebildim . En fazla takıldığım kısım buydu .

Şimdi geride kalan takıntım n=k+1 in "doğru"luğunu ispatlama süreci... Yukarıda yazdığım örnekten baktığımızda , önermenin iki yanına k+1 ekleniyor . Ardından bu toplama sürecinin sonunu başına yazıp, "Şimdi size böyle olduğunu gösterelim" dedikten sonra da toplama sürecinin sonunda "bakın bizde aynısını yazmıştık, demek ki doğruymuş" deniliyor gibi geliyor bana . Ben n=k+1 için önermenin doğru oluşunu tam olarak kanıtın hangi aşamasında idrak ettiğimizi merak ediyorum !

Önermenin n=k+1 değeri için ispatlanma aşaması aslında en önemli aşama.Yaptığımız burada basitçe önermenin her iki tarafına k+1 eklemek değil bundan ziyade önermemizin bu k+1 değeri için sağlanıp sağlanmaması.Çünkü daha önce söylediğim gibi önerme 1 trilyona kadar da doğru olsa hala bu onun her doğal sayı için doğru olduğunu göstermez ve dolayısıyla böyle bir yönteme başvurulur.Kısaca söyliyeyim;tümevarım bir domino etkisi gibidir.İlk önce1.domino taşı devrilir.Sonra k. sıradaki domino taşına kadar devrildiğini farzederiz eğer k+1nci domino taşının da devrilebileceğini ve bunun böyle süreceğini görürsek bu artık sonsuza kadar devam edecektir manasını çıkarırız.Yaptığımız bundan ibarettir.Bunda ne gibi zorluk var anlayamadım?
"Ben n=k+1 için önermenin doğru oluşunu tam olarak kanıtın hangi aşamasında idrak ettiğimizi merak ediyorum" demişsin bunu n=k için doğru kabul ettikten ve n=k+1 için doğru olduğunu gösterdiğimiz anda anlarız sevgili arkadaşım.

Tümevarım ilkesi :

n ∈ N ; p(n) bir açık önerme, a ∈ N ve N[SUB]a[/SUB] = {a, a+1, a+2,... } olsun .

i) p(n) önermesi Na kümesinin en küçük elemanı olan n=a için doğru ise ,


ii) k ≥ a olmak üzere , p(n) önermesi n = k için doğru [p(k) doğru] varsayıldığında n=k+1 için doğru oluyorsa [p(k+1) doğru oluyorsa ] , bu önerme Na kümesinin her elemanı için doğrudur.

Bir matematikçi bu ilkeye bakarak hangi önermelerin tümevarımla kanıtlanabileceğini , hangilerinin ise kanıtlanamayacağını sanırım bilebilir ?

Tümevarım ilkesinin bahsettiğiniz domino etkisinin altında yatan nedensellik de iyi-sıralılık ilkesi olabilir ?

Bir önerme örneği vermek istiyorum :

p(n) : n[SUP]2[/SUP]+n+11 = P (prime number - asal sayı )

p(1) : 1+1+11= 13.......doğru.............p(6) : 36+6+11= 53....................doğru
p(2) : 4+2+11= 17.......doğru.............p(7) : 49+7+11= 67....................doğru
p(3) : 9+3+11= 23.......doğru.............p(8) : 64+8+11= 83....................doğru
p(4) : 16+4+11= 31.....doğru.............p(9) : 81+9+11=101...................doğru
p(5) : 25+5+11=41......doğru.............p(10) : 100+10+11= 121.......yanlış

Bu deneme yanılma usulü de gösteriyor ki

n[SUP]2[/SUP]+n+11 = P önermesi
tüm doğal sayılar için genellenemez .
Merak ettiğim bu genellenemez önerme ile ilk mesajımdaki örnek verdiğim
1+2+3+...+n = n(n+1)
..............................2
genellenebilir önermesi arasındaki yapısal farklılığa dair tümevarım ilkesinin bir şey söyleyip söylemediği ?

Bu soru ilk sorum yani "bir matematikçinin bu ilkeye bakarak hangi önermelerin tümevarımla kanıtlanabilip , hangilerinin kanıtlanamayacağını anlayabilmesi" tahminime ilişkin bir soru . sanırım bu sorunun cevabı üzerinden biraz daha yol alabilirim ?

-------------------------

Tüm bu tümevarımı kişisel anlama çabalarımın yanında , durumu daha genel bir tartışma ve sohpet alanına taşıyabilmek çabası adına " GÖDEL-Mantığa Adanmış Bir Yaş*** " adlı kitaptan , konuya ilişkin dikkatimi çeken bir paragrafı eklemek isterim :

1.Basım , Kabalcı Yayınevi , Sf. 35

" Kimi matematik felsefecileri, matematiksel tümevarım gibi yapıcı olmayan ve/veya sonlandırıcı olmayan çıkarım ilkelerinin bir ispat aracı olarak matematiğe dahil edilmemesi gerektiğini savunurlar. Buna uyarak , tümevarım aracını , matematiğin mantıksal ispat mekanizmasından çıkarmış olsaydık, ilk n tamsayının toplamının formülü artık genel n için ispatlanabilir olmazdı. Yine de , deyim yerindeyse, 'dışardan' formülün doğru olduğunu görebilirdik. "

Kim bu matematik felsefecileri ? Savunmalarını acaba "yapıcı değil" ve "sonlandırıcı değil" gibi iki basit cümle ile mi yapıyorlar ? Sanmam . Uzun uzun gerekçelendiriyorlardır şüphesiz . Onları da incelemek isterdim ama yeterli olmayan ingilizcemle bu durumun peşine düşemiyorum . Türkçe kaynaklarda da tümevarıma muhalefet eden kimse gözükmüyor . Ancak kitabın yazarının bu matematik felsefecileri ya da matematikçi felsefecilere tümevarım savunusu salt kılgısal yani pratik getirisi üzerinden , pragmatik olmuş . Ama en azından her matematikçi tarafından kabul edilmediği bilgisi mühim . Sanırım tümevarım gibi "olmayana ergi" yöntemini de diğer başka matematik felsefecileri (matematiğe bütünlüklü bakanlar ) kabul etmiyor ! Bu olgularında yanına bir ünlem koymak gerek .

Ben şimdilik yalnızca tümevarımı anlamak istiyorum .

Not: Bu arada ilk mesajımda bazı matematiksel semboller kullanmıştım . İkinci mesajımda bu sembollerin "çıkmadığı"nı gördüğümü ifade etmiştim . Ancak bunu yazarken başka bir bilgisayardaydım. Evdeki bilgisayardan girdiğimde tekrar semboller görünür hale geldi. Bu mesajımda da yine matematiksel semboller kullandım ve mesajı yolladıktan sonrada hâlâ semboller görünür durumda . Eğer yine başka bir bilgisayarda bende görünüyor olmasına rağmen görünmez ve kutucuklar halinde çıkarsa bir daha sembol kullanmayacağım ancak muhakkak , bir matematik sitesinde sembol kullanamamanın rahatsızlığından muzdaripler kümesine dahil olacağım . Büyük harf kullanamamak estetik bir rahatsızlık olduğundan düzeltilmemesi çok da önemli değil . Ama sembol kullanımı öyle mi ?
Saygılarımla ...