Matematik Forum |Matematik,Geometri,Matematik Ders Notları,KPSS,ÖSS,SBS

Euclit geometrisinin temeli nokta iie başlar. Pisagorcular noktayı küçük bir zerre olarak tanımlamışlardır. Bu tanım aslında Aristo’dan (İ. Ö. 340) alınmıştır. Eflatun (i. ö. 380), noktayı bir doğrunun başlangıcı olarak tanımlamıştır. Bu kez doğru nedir sorusu karşımıza çıkmaktadır. Altıncı yüzyılda yaşayan Simplicus, uzunluğun başlangıcı ve buradan doğru uzar. Ayrıca bölünemez diye noktayı tanımlamıştır. Hiçbir parçası ol­mayan ize nokta denir tanımını Euclit (İ.Ö. 300) yapmıştır. Heron (50) da aynı sözcü­ğü kullanmış, noktayı boyutsuz bir limit veya doğrunun bir limitidir şeklinde söylemiştir. Capella (460), hiçbir parçası olmayan şeye nokta denir demiştir. Modern yazarlar nok­tayı sanki tanımlı bir limit kavramıdır diye almışlardır. Dönemimizde de, nokta kabul edilen bir kavramdır. Noktayı kabul ettikten sonra işler kolaylaşır.

Eflatuncular, ensiz uzunluğa doğru demişlerdir. Aynı tanımı Euclit de almıştır. Yani noktanın hareketinden doğru elde edilir. Doğrunun hareketiyle yüzey ve yüzeyin hareket ile de hacim oluşturulur. Bundan sonra doğru, yarı doğru, doğru parçası, yü­zey, düzlemsel yüzey, açı, çember, daire, çap, yarıçap, paralel doğrular ve dik doğrular gibi bir dizi geometrik tanımlar getirilmiştir.

İspatlanamayan gerçeklere aksiyom ismi verilir. Açıkça görülen fakat ispatlana-mayan gerçeklere de postülat denir. Euciit’in geometrisi tanım, aksiyom ve postülatlar üzerine kurulmuştur. Zaten matematik aksiyomatik bir düşüncedir. Belli şeyleri kabul ederseniz: onun üzerine matematiği kurarsınız.


Öklid'in aksiyomları
Şimdi, Euclit’in beş aksiyomunu yazalım; 1. Aynı şeye eşit olan şeyler eşittir,2. Eşit şeylere eşit çokluklar eklenirse sonuç yine eşittir,3. Eşit şeylerden eşit çokluklar çıkarılırsa sonuç yine eşittir,4. Birbirleriyle çakışan şeyler birbirine eşittir,5. Bütün, parçalarından büyüktür.

Şimdi de postülatlara bazı örnekler verelim.

1. iki noktadan bir doğru geçer,

2. iki nokta arasındaki sürekli doğru sonludur,

3. Bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların geometrik yeri bir çemberdir,

4. Tüm dik açılar birbirine eşittir,

5. İki doğru bir doğru ile kesildiğinde kesenin bir tarafında oluşan iki iç açının toplamı 180 dereceden küçükse, bu iki doğru bu 180 dereceden küçük açıların bulun­duğu tarafta kesişirler.

Bu postülatlar daha sonraki Yunanlı bilginler tarafından çok İncelendi ve geliştirildi. Sidonlu Zeno (İ. Ö. I. yüzyıl) farklı iki doğrunun ortak bir doğru parçası yoktur. Dördüncü ve beşinci postulatların birer teorem olduğu yine ileri sürülmüştür. Proclus (460) dör­düncü postulatı bir teorem olarak almış, ispatlamaya çalışmış fakat başaramamıştır. Bu postülatın tersinin doğru olmasının gerekmediğini de ileri sürmüş ve bunu ispatla­mıştır. Saccheri (1773) bu postülatı farklı bir yolla ispatlamıştır.


Beşinci postülat
Matematikte en çok tartışılan ve önemli olan beşinci postülattır. Bu postülat daha çok paralellik postülatı olarak bilinir. Yani, bir doğruya dışındaki bir noktadan bu doğruya yalnız bir tek paralel çizilir ifadesi beşinci postülata eşdeğerdir. Bu nedenle beşinci postülat daha çok bu ifadeyle tanınır. Tarih boyunca bu postülatı ispatlamak için giri­şimlerde bulunulmuştur. Bunlardan önemli girişimler Ptolemy (85 - 165), Nasirettin elTusi (1200), VVallis (1660), Saccheri (1733), Lambert (1766), Legendre (1794) ve diğerleri tarafından yapılmıştır.


Playfair postülatı
Proclus’un postulatına bir alternatif Playfair (1795) getirilmiştir. Playfair’in dünyaya tanıttığı postulat da şöyledir. Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnız bir tek paralel çizilir. Ya da kesişen iki doğru bir doğruya ve aynı doğruya paralel olamazlar. Aslında Playfair’in postulatı pratik olarak 1795 tarihinden önce biliniyordu. Çünkü, bu postülatı Joseph Fenn, Euclit’in Elemenfs isimli kitabını 1769 yılında Dublin’de yayınladığında »azmıştı. O da, iki paralel doğrudan birini kesen doğru diğerini de keser şeklindeydi. Proclus (460) tarafından verilen bu postülat VVilliam Ludlam (1785) tarafından da ya­zılmıştı. Zaten bu ileri sürülen postülatların tümü Euclit’in Elements isimli kitabının birinci cildinin otuz birinci sayfasında vardı. Yukarıdaki yazarların sunduğu postülatlar Euclit’in beşinci postulatının eşdeğer söylenişleriydi.

İlkel geometrinin düzlemsel geometri problemlerinin temelleri Euclit’in Elements isimli kitabında vardı. İkiz kenar bir üçgenin taban açıları da birbirlerine eşittir. Euclit’in birinci kitabının beşini önermesi olarak geçen bu teorem, ilk kez Thales (İ. Ö. 600) tara­fından ispatlandığını Proclus (460) söylemektedir. Yine aynı teoremin farklı bir yoldan Pappus (300) tarafından ispatlandığını Proclus söylemektedir. Bu teorem Ortaçağ boyunca matematikçilerin dikkatini çekmiş. Roger Bacon (1250) da bu teoreme değin­miştir.

alıntı

öklidin en tartışılan postulatı 5. postulatıdır şöyledir ki:
eğer iki düz çizgi üzerine düşen bir düz çizgi aynı tarafta iki dik açıdan küçük iç açılar yapar ve bu devamlı olarak üretilirse bu iki düz çizgi bu açıların iki dik açıdan küçük olduğu tarafta kesişir(paralellik geometrisi)

paylaşımlar için teşekkürler deliyürek bilgin sana sorum neden 5. postülat bu kadar tartışılmış açabilirmisin biraz?

Uzun süre postüla olarak adlandırılan önermelerin yapıları tam olarak anlaşılamamış ve Öklid'in paraleller postülası adıyla tanınan beşinci postülası matematikçiler tarafından sanki bir teoremmiş gibi kanıtlanmaya çalışılmıştır. Bazı matematikçiler ise, bu postülayı daha kullanışlı başka bir postüla ile değiştirmek istemişlerdir. Paraleller postülası yerine konulan en tanınmış postülalar şunlardır:


1. Bir üçgenin iç açıları toplamı 180 derecedir.

2. Bir doğruya dışındaki bir noktadan yalnızca bir tek paralel çizilebilir.


Öklid beşinci postülanın gerekli olduğunu görmüş ve sezgisel olarak en yalın biçimini seçmişti; bu da onun dehasının göstergelerinden yalnızca bir tanesidir.

bir de euclit geometrisinde üçgenin iç açılar toplamı 180 dercedir. fakaqt bu yanlış bir tanımdır. çünkü uzayda 2 nokta arsında en kısa çizgiyi bir yamuk oluşturmaktadır. onun için bu doğrularla yapılan üçgenin iç açıları toplamı hiçbir zaman 180 olmaz. ya180 den büyük, ya da 180 den küçük olur. bu geometriye de gaus geometrisi deniliyor.

Bir çok matematikçi 5. postülat için sezgisel olarak kabul edilebilir nitelikte olmadığını söylemiştir.yani her nekadar şu an biz onu postülat olarak kabul etsek de bunun kanıtlanlanması gerektiğini ve postülat denebilecek kadar açık olmadığını savunanlar çıkmıştır. hatta bu konuda ısrar edip yeni bir geometri alanı oluşturanlar var ki öklidin 5. postülatını kabul etmeden "mutlak geometri" adı altında çalışmalar yapanlar çıkmış.fakat 5. postülat kabul edilmeden çok da fazla ilerleyememişler.şu an ilköğretim ve ortaöğretimde öğretebildiğimiz geometriyi öklidin 5. postülatına borçlu oluyoruz.

Arkadaşlar fikirleriniz için teşekkürler...