Matematik Forum |Matematik,Geometri,Matematik Ders Notları,KPSS,ÖSS,SBS

Arkadaşlar kim yazmıştı hatırlamıyorum her n>=1 pozitif tamsayısı için 64,f(n)=7^2n+16n-1 polinomununu böleceğinden bahsetmişti.Biraz kafa yordum bunun için.İspatını vermek istiyorum.

Teorem: Her n>=1 pozitif tamsayısı için 64 f(n) i böler.

İspat:Öncelikle her k>=1 için g(k)=(7^2k).3+1 in 4 ile daima bölüneceğini gösterelim.k=1 için g(1)=49.3+1=148 ve 4/148 old.dan sağlanır.Önerme k=t için doğru olsun k=t+1 için doğruluğunu gösterelim.O zaman (7^2t).3+1=4m o.ş. m tamsayısı vardır.[7^2.(t+1)].3+1=(7^2t).49.3+1=(7^2t).49.3+(49-48)=(7^2t.3+1).49-48=4m.49-48=4m.49-4.12=4(49m-12).Dolayısıyla k=t+1 için de önerme sağlanır.Bundan dolayı tümevarım prensibi gereğince önerme doğrudur ve 4/g(k).Şimdi teoremin ispatına geçiyorum.64/f(n) olduğunu göstereceğiz.n=1 için f(1)=7^2+16-1=64 sağlanır.Önerme n=k için için doğru olsun n=k+1 için doğru olduğunu gösterelim.O zaman 7^2k+16k-1=64p o.ş bir p tamsayısı vardır.Şimdi n=k+1 e bakalım.
7^2.(k+1)+16(k+1)-1=(7^2k).49+16k+15=7^2k(1+48)+16k+15=7^2k+(7^2k).48+16k+15=7^2k+(7^2k).48+16k+(-1+16)=7^2k+16k-1+7^2k.48+16=(7^2k+16k-1)+(7^2k.3+1).16=64p+g(k).16 ve g(k) daima 4 ile bölündüğünden g(k).16 çarpımı 64 ün bir katı olur.O zaman son toplam 64 ün bir katıdır.Yine tümevarımdan dolayı önerme doğru ve her n>=1 pozitif tamsayısı için 64/f(n) dir.

ispatta gecen [7^2.(t+1)].3+1=(7^2t).49.3+1=(7^2t).49.3+(49-48)=(7^2t.3+1).49-48=4m.49-48=4m.49-4.12=4(49m-12).
ifadesini tekrar kontrol edebilir misiniz. 4m ile çarptığınız 49-48 sayısı parantez içinde olması gerekmiyor mu? ( 4m.[49-48]) yada hiç yazmazsak, yani; (7^2t.3+1).49-48=4m değil midir

Ama ben dikkat edersen (7^2t).3+1 ifadesine m demişim sanırım anlatmaya çalıştığın sonuçta farkın da 4 ün bir katı olacağı ki doğru söylüyorsun.

Ellerine sağlık çözüm için ama sanki biraz uzun olmuş tümevarımla yapmaya kalkınca.Mesela g(x) fonksiyonunun 4 ile bölündüğünü mod4'e göre inceleyip daha rahat yapabilirdin

Galiba haklısın,teşekkürler uyarı için hoyrat.Sizlerin de ilgilendiği bu tür problemler ve çözümleri bulunuyorsa benimle iletişime geçebilirsiniz.