Gecen sene lise 1. siniftan bir ogrencim bu konuyu donem odevi olarak almis ve tum ogretmenleri ve sinif arkadaslari huzurunda sunum yapmisti. Ben de ona hazirlamasi icin baya yardim etmistim. Bir kopyasi da bende aynisini buraya yaziyorum. Usenmeyin okuyun, guzel bir yazi ;)
------------------------------------------------------------------------
COLLATZ PROBLEMİ
Bu konuşmamda sizlere neredeyse 60 yıldan beri çözülemeyen bir problemden bahsetmek istiyorum,
Collatz Problemi. Problem için, ne problemin nasıl ortaya çıktığı ne de problemin bir çözümünün olduğu biliniyor. Bilinen tek şey onun kökeninin sırlarla örtülü olduğudur. Problemin kabul görmüş genel bir ismi dahi yok. Bu yüzden problemin adı, 1930’lu yıllarda bir öğrenci olan ve problemin yaratıcısı olduğu söylenen
Lothar Collatz’tan gelmektedir. 1950 yılına kadar problem hakkında yayınlanmış herhangi bir kayıt yoktu. Fakat o yıldan bu yana, özellikle 1970’lerden sonra probleme karşı hızla artan ilgi ve problemin çözümü için konulan ödüller, problemin insanlar arasında ilgi odağı olmasını sağladı. Bir ara problem, insanlar ve özellikle de üniversitelerdeki eğitmenler arasında öyle bir ilgi odağı oldu ki, üniversitelerin matematik bölümündeki araştırmalar haftalarca durdurulup bu problem üzerine yoğunlaşıldı. Soğuk savaş yıllarında bazı Amerikalı siyasiler tarafından, problemin Sovyetler tarafından tamamen bir uydurmaca olduğu iddia edilip, Amerika’daki bilim hayatına kast etmesi için hazırlanan sinsi bir tuzak olduğu düşünüldü. Problemin yıllardır çözülememiş olması, çözümü üzerine verilecek para ödülü ve daha da önemlisi matematik dünyasında kazanılacak itibar insanların bu probleme olan ilgisini gün geçtikçe arttırdı. Yüzlerce yanlış kanıt ödül parasi peşine düştü ancak çözüm günümüze kadar bulunamadı. Günümüzün en iyi matematik beyinlerine göre de uzun yıllar çözülemeyeceği olasılığı vardır. Öyle ki, yirminci yüzyılın en iyi matematikçilerinden olan
Paul Erdos “Matematik bunun gibi problemleri çözmek için henüz hazır değil.” demiş ve problemi çözen kişiye para ödülü vaadetmiştir.
Collatz Problemi aynı zamanda
3n + 1 Problemi ya da
Dolu Tanesi Problemi olarak da isimlendiriliyor. Bu isimler problemin tamamen kendisinden ve şematik olarak gösteriminden geliyor. Probleme gelecek olursak
Dolu Tanesi Sayıları şu şekilde elde ediliyor. Pozitif tamsayı olmak üzere, herhangi bir başlangıç sayısı alınır. Eğer alınan sayı çift ise sayıyı ikiye bölünür, tek ise sayı 3 ile çarpılıp sonuca 1 eklenir. Başlangıç sayısının tek ya da çift olma durumuna göre yapılan işlemlerden sonra elde edilen yeni sayı için aynı işlemleri bu şekilde tekrar edilir. Kuralı matematiksel bir ifadeyle açıklamak gerekirse tanım kümesi ve değer kümesi pozitif tamsayılar olan bir f fonksiyonu olsun. Bu f fonksiyonu öyle bir fonksiyon olsun ki, verilen x değeri eğer tek ise x değerinin 3 katının 1 fazlasını, çift ise yarısını alsın. Verilecek x sayısının tek ya da çift olduğunu belirtmek için modüler aritmetikten yararlanacağız. Eğer bir sayının 2’ye bölümünden kalan 1 ise sayı tek, 2’ye bölümünden kalan 0 ise sayı çifttir. Yani,
şeklindedir. O halde fonksiyon;
şeklinde olacaktır. Herhangi bir pozitif tamsayı için, bu fonksiyon altında elde edilecek sonuç, tekrar bu fonksiyonda işleme konulacak ve çıkacak her yeni sonuç tekrar tekrar bu fonksiyonda yerine konularak devam edilecektir.
Daha açıklayıcı olması açısından sizlere kuralı bir örnekle göstereceğim. Örneğin başlangıç sayımız pozitif bir tamsayı olan 3 olsun. Kurala göre sayı eğer tek ise sayıyı 3 ile çarpıp 1 ekleyeceğim. Çift ise 2’ye böleceğim. Sayı şu an 3, yani tek bir sayı. O halde yapacağım iş 3’ü 3 ile çarpıp 1 eklemek
(3 x 3 + 1 = 10) ve sonuç 10’dur. Şimdi elde ettiğim 10 sayısı ise çifttir. O halde kurala göre yapacağım 10’u 2’ye bölmektir.
(10 / 2 = 5) Şimdiki sayım ise 5, yani tek bir sayı. O halde 5’i 3 ile çarpıp 1 ekliyorum,
(5 x 3 + 1 = 16) sonuç 16. Yeni sonuç 16 çift bir sayıdır ve 2’ye bölümünden elde edilen 8 yine bir çift sayı olup 2’ye bölümünden elde edilen sonuç 4’tür. 4 yine bir çift sayıdır, 2’ye bölümünden elde edilen sonuç 2 ve 2’nin çift bir sayı olmasından ötürü 2’ye bölünmesinden elde edilen sonuç 1’dir.
Başlangıç sayısı 3 için, kurallar uygulanarak elde edilen sayı dizisi şöyledir.
Şimdi başlangıç sayısını başka bir pozitif tamsayı alıyorum, örneğin 18 sayısı. Kurallar uygulanarak başlangıç sayısı 18 için elde edilecek sayı dizisi,
şeklindedir. Ya da başka bir başlangıç sayısı alalım, örneğin 15 sayısı.
Başlangıç sayısı 35 olan sayı dizisi de bu şekildedir. Verdiğim örneklerde benzer olan tek bir şey vardır, o da kurallar uygulandıktan sonra elde edilen son sayının 1 olmasıdır. Bazen bu örneklerde kolayca elde edildiği gibi dizinin son sayısı olan 1’e kolayca erişilemeyebilir. Örneğin başlangıç sayısını 27 alırsam, 1’e ulaşmak için 111 adım gerekmektedir. Başlangıç sayısı olarak alınan 27 sayısı için, adım sayısı ve elde edilen sonuçlar aşağıdaki grafikte verilmiştir. Grafikte yatay eksen 1’e ulaşmak için gereken adım sayısını, dikey eksen ise sırasıyla her adımda elde edilen değerleri göstermektedir.
Grafikten anlaşılacağı gibi 27 sayısı 38. adımda 1780 değerine, 67. adımda 7000 engelini aşıp 7288 değerine ulaşıyor. Sonra süratli bir düşüş yaşayıp tekrar yükselişe geçerek 77. adımda en yüksek değeri olan 9232 değerine ulaşıyor. Daha sonra hızlı bir düşüş yaşayıp 34 adım sonra, 111. adımda son değer olan 1 sayısına ulaşıyor.
Problemin diğer adının
Dolu Tanesi Sayıları adı olmasında bu tür grafiklerden esinlenilmiştir. Grafikten görüleceği gibi, sayıların iniş ve çıkışları bir fırtına bulutunda oluşan dolu tanelerinin hareketinden farklı değildir. Dolu taneleri önce yüksek hava akımlarına ve şiddetli rüzgarlara kapılarak çok yükseklere çıkarlar, sonrasında onları taşıyan hava akımından çıkıp kendi ağırlıklarıyla düşmeye başlarlar. Bu esnada grafikte 67. adımdan itibaren düşüşünden sonra tekrardan yükseldiği gibi dolu taneleri de yeni bir hava akımının içine girip, tekrardan yükseklere çıkabilir. Ancak gerçek şu ki dolu taneleri fırtına bulutunun içinde sürekli büyür ve ağırlığı artar. Bu da dolu tanesinin kaderini belirler. Er ya da geç ağırlığı öyle bir noktaya gelir ki, onu yukarı taşıyan en güçlü hava akımı bile dolu tanesini kaldıramaz ve toprağa düşer. Bu dolu taneleri için geçerli olan durum acaba dolu tanesi sayıları için de geçerli midir? Yanıtlanacak basit gibi görünen ancak yaklaşık 60 yıldır yanıtını bulamayan soru ise tam bu noktadadır. Tüm pozitif tamsayı başlangıç değerleri için, uygulanacak kurallar sonucu elde edilecek sonuç 1 midir? Bir başka deyişle herhangi bir başlangıç değeri için elde edilecek sayı dizisi her zaman 1 ile mi sonuçlanır?
Bu soru üzerine bazı eğitim kurumları ciddi araştırmalar yapmıştır. Örneğin Tokyo Üniversitesi Matematik Bölümü eğitmenleri işin içinden çıkamamış ve sonrasında bir trilyona kadar olan tüm sayıları bilgisayar yardımıyla hesaplamış, hepsinin sonucunda da 1 değerine ulaşmışlardır. Bir başka akıl yürütme ise şudur. Herhangi bir başlangıç değeri ile elde edilen dizide rastgele ardışık iki terimden ikisi birden hiçbir zaman tek olamaz. Çünkü kuralımıza göre elde edilen sayı tek ise, sayı 3 ile çarpılacak ve sonuca 1 eklenecekti. Herhangi bir tek sayının 3 ile çarpımının 1 fazlası da her zaman çift bir sayıdır. Dolayısıyla dizinin herhangi ardışık iki terimi 3 tür olabilir; tek – çift , çift – tek ya da çift – çift. Sayı dizisinin yükselmesi esnasında öyle bir çift sayıya ulaşılacaktır ki bu çift sayı ardı ardına defalarca 2’ye bölünebilen bir sayı olacaktır ve bu da elde edilen son sayıyı gittikçe son değer olması gereken 1 eğerine yaklaştıracaktır.
Bunlar dışında problemin ispatı için yapılan çalışmalar esnasında bazı ince noktalara rastlanılmıştır. Örneğin, sayıların 1’e ulaşıp ulaşmadığını görmek için tüm sayıları denemeye gerek yoktur. Şöyle ki; kurala göre başlangıç sayısı eğer çift ise, sayı 2’ye bölünmelidir. Bu durumda iki ihtimal vardır; ya sayı ardı ardına 2’ye bölünerek son değer olan 1’e ulaşacaktır ya da bir ya da birkaç sefer 2’ye bölünerek tek bir sayı elde edilecektir. Bunun anlamı çift sayılar eninde sonunda bir tek sayıya ulaşacağından, çift sayıları denemeye gerek yoktur. Bir başkası, ilk verdiğim örneğe geri dönecek olursak, başlangıç değeri 3 olursa elde edilen sayı dizisi,
şeklinde idi. Dizinin üçüncü sayısı olan 5 sayısını başlangıç sayısı olarak kabul edersem, 5 ile başlayan dizideki sayılar da aynı sıra ile devam edecek ve son değer olan 1’e ulaşacaktır. Bunun anlamı, herhangi bir başlangıç değeri 1’e ulaşıyorsa, bu başlangıç değeri için oluşan dizinin içersindeki sayıları tekrar denemeye gerek yoktur, çünkü aynı sayı sıralaması, aldığım yeni sayı için de gerçekleşecek ve son sayı 1 olacaktır. Bir başkası ise herhangi bir başlangıç değeri için elde edilen dizide aynı sayıdan 1’den fazla kesinlikle bulunmamaktadır. Şayet öyle olsaydı, dizi içersinde belli bir basamaktan sonra aynı sayıya tekrar tekrar gelinecek ve dizi sonsuz bir döngüye girip aynı sayılar etrafında sürekli devam edecektir. Bunun dışında bir dolu tanesinin eriştiği zirve değerinin hep çift sayı olması gerektiğini görmek kolaydır. Yeni bir zirve rekorunun tek olan bir başlangıç değeriyle kırılabileceği de kanıtlanmıştır. Ancak dizi uzunluğunun başlangıç değerinin büyüklüğü ile orantılı olmak zorunda değildir. Şöyle ki; başlangıç değeri 27 olan dizinin uzunluğu 111 iken, 27’den daha büyük bir sayı olan 35 başlangıç olarak alınırsa oluşacak dizi sadece 14 elamanlı olacaktır. Bununla beraber dizi uzunluğu rekorunu kıracak başlangıç sayıları konusunda teorik herhangi bir tek veya çift kısıtlaması olmadığı görülmektedir. Ancak görülen odur ki, uzunluk rekoru kıranların çoğunluğu tek sayılardır. 100.000’in altındaki istisnalar 6
(dizi uzunluğu 8), 18
(dizi uzunluğu 20) ve 54’tür.
(dizi uzunluğu 112)
Sonuç olarak 1940’lardan günümüze kadar, problem hakkında birçok akıl yürütme yapılmış, bilgisayarlardan hesaplamalar yapılmış ancak sonuca ulaşılamamıştır. Problemin yaklaşık 1940’tan bu yana çözülememiş olmasına bir de, problemin çözümüne verilecek parayı ve dünya matematikçilerinin gözünde kazanılacak itibarı da eklersek, problem daha da gizemli bir hal alıyor. Acaba gerçekten de yirminci yüzyılın matematikçisi olarak bilinen Paul Erdos’un dediği gibi dünyanın matematik alanında geldiği konum bu problemi çözebilecek yeterliliğe henüz sahip değil midir yoksa dolu taneleri için geçerli olan durum acaba tüm dolu tanesi sayıları için de geçerli midir?
------------------------------------------------------------------------
Bu konu hakkında
Tubitak Yayinlari'nin
Bir Sayi Tut adli kitabinda daha genis bilgi bulabilirsiniz. Okumayanlar icin kitap hakkinda soyleyebilecegim, agir bir matematik icermemekle beraber kesinlikle okunmasi gereken bir kitaptir. Kitaba basladiktan sonra elinizden birakamayacaksiniz.
İyi eğlenceler...